Pengertian Kombinasi Beserta Contoh Soal dan Pembahasannya

Topik pembahasan Kali ini kita akan membahas mata pelajaran matematika dengan tema tentang kombinasi yang dilengkapi dengan contoh soal dan pembahasannya.

Ketika kita dihadapkan pada suatu persoalan atau permasalahan bagaimana merumuskan banyaknya peluang dari suatu kumpulan objek yang akan dibentuk, kita dihadapkan pada dua pilihan yaitu : Permutasi dan Kombinasi. Teknik penggunaan permutasi dan kombinasi tentunya memiliki tujuan yang berbeda.

Untuk itu, dalam tutorial kali ini kita akan terlebih dahulu memahami definisi atau maksud dari istilah Permutasi dan Kombinasi. Kemudian akan dilanjutkan dengan contoh soal beserta pembahasannya.

Apa itu Permutasi ?

Permutasi adalah suatu teknik yang menyatakan banyaknya cara dalam menyusun beberapa objek dari suatu grup dengan memperhatikan urutan. Di dalam permutasi, urutan diperhatikan,dengan demikian kita dapat membentuk sekumpulan objek walaupun objek tersebut hanya bertukar posisi.

{1,2,3} tidak sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}

Jika anda masih bingung, perhatikan contoh berikut :

Contoh.1

Jika dalam sebuah kotak terdapat 3 bola yang masing-masing berwarna  : merah, hijau dan biru. Ada berapa banyak cara atau kemungkinan yang dapat dibentuk jika seandainya seoarang anak ditugaskan untuk mengambil 2 bolah secara acak dan urutan pengambilan diperhatikan ?

Pembahasan

Kata kunci soal diatas (contoh.1) adalah diperbolehkan urutan pengambilan. Dengan demikian, ini adalah permutasi. Sehingga jawabannya menjadi :

Merah Hijau    Merah Biru

Hijau Merah    Hijau Biru

Biru  Merah    Biru  Hijau

Jika kita perhatikan ada 6 cara atau 6 kemungkian bola yang akan terambil oleh si Anak tersebut. Jika perhatikan lebih teliti lagi, Merah Hijau dan Hijau Merahadalah dua hal yang berbeda (karena berbeda urutan atau posisinya). Inilah yang dinamakan Permutasi.

Dari uraian permutasi diatas, kita dapat mengformulasikan rumus Permutasi sehingga akan mempermudah kita dalam mencari banyaknya cara dalam membentuk suatu kumpulan objek.

Apa itu Kombinasi ?

Kombinasi adalah suatu teknik yang menyatakan banyaknya cara dalam menyusun beberapa objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutan. Dengan demikian jika ada objek yang hanya berbeda urutan, maka tidak diperbolehkan atau akan dianggap sama objeknya.

{1,2,3} adalah sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}.

Contoh.2

Misalkan soal permutasi diatas kita rubah dalam konsep kombinasi :

Ada berapa banyak cara yang mungkin terjadi jika si Anak dipersilahkan mengambil 2 bola secara acak dalam suatu kotak yang mengandung bolah berwarna : merah, hijau dan biru. Dalam pengambilan bola, urutan tidak diperhatikan artinya tidak diizinkan tentang urutan.

Pembahasan

Kata kuncil soal diatas (contoh.2) adalah tidak diperbolehkan urutan pengambilan. Sehingga harus kita jawab dalam bentuk kombinasi :

Merah Hijau    

Merah Biru

Hijau Biru   

Dengan demikian hanya terdapat tiga cara, kombinasi cara lain akan bermakna sama atau dianggap satu, seperti : Merah Hijau dengan Hijau Merah akan dianggap satu cara.

Rumus Kombinasi

Dari penjelasan dan contoh soal diatas, dalam mempermudah kita menghitung peluang atau banyaknya cara yang dapat terbentuk dengan menggunakan kombinasi dapat dirumuskan menjadi:

C(n,k)= n!(n-k)!.k!

Contoh:

Diatas meja terdapat tiga buah amplop yaitu : amplop A, amplop B dan amplop C. Si Ibu menyuruh anaknya mengambil dua amplop dari tiga amplop yang tersedia diatas meja. Berapa banyaknya cara atau kombinasi untuk mengambil dua buah amplop dari tiga buah amplop yang disediakan?

Pembahasan

C(3,2)= 3!(3-2)!.2! = 3.2!1.2!= 3

Latihan Soal Kombinasi dan Pembahasannya

1. Terdapat 10 orang yang lulus seleksi pada suatu perusahaan. Namun kebutuhan tenaga kerja sebanyak 4 orang. Tentukan berapa banyak cara yang dilakukan perusahaan dalam memilih 4 orang dari 10 orang lulus seleksi ?.

a. 60
b. 240
c. 210
d. 310

Pembahasan 

Diketahui :

n = 10, menyatakan jumlah yang lulus seleksi

k = 4, menyatakan  tenaga kerja yang diterima atau dipilih.

C(10,4)= 10!(10-4)!.4! = 10.9.8.7.6!6!.4.3.2.1 = 504024 =210

Jawaban :c

2. Dalam sebuah sekolah telah diseleksi 5 orang  siswa yang berbakat dan mahir dalam badminton. Berapa banyaknya cara pemilihan yang mungkin jika dipilih 3 orang siswa untuk mewakili sekolah dalam turnamen badminton ?

a. 10
b. 16
c. 60
d. 15

Pembahasan

Diketahui :

n = 5, menyatakan jumlah siswa yang telah diseleksi dalam bidang olahraga badminton.

k = 3, jumlah siswa yang diutus dalam kompetensi badminton

C(5,3)= 5!(5-3)!.3! = 5.4.3!2!.3! = 202 =10

Jawaban : a

3. Misalkan ada 4 warna cat, yaitu : Merah, Kuning, Hijau dan Biru. Jika 2 warna cat dicampurkan akan membentuk warna baru. Maka akan ada berapa banyak warna baru yang diperoleh ?

a. 6
b. 12
c. 8
d. 60

Pembahasan

Diketahui :

n = 4, menyatakan jumlah warna cat (Merah, Kuning, Hijau dan Biru).

k = 2, menyatakan jumlah warna  cat yang dicampurkan

C(4,2)= 4!(4-2)!.2! = 4.3.2!2!.2! = 122 =6

Jawaban : a

4. Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi ?

a. 40
b. 45
c. 20
d. 10

Pembahasan

Diketahui:

n = 10, menyatakan jumlah orang dalam suatu pertemuan

k = 2, menyatakan jumlah orang yang saling berjabat tangan

C(10,2)= 10!(10-2)!.2! = 10.9.8!8!.2! = 902 =45

Jawaban : b

5. Menjelang arisan keluarga di rumah, Bu Darni belanja ke pasar untuk membeli 2 ekor ayam dan 2 ekor itik dari seorang pedagang yang memiliki 5 ekor ayam dan 5 ekor itik. Ada berapa banyak cara yang dapat dilakukan oleh Bu Darni dalam memilih ternak-ternak yang diinginkannya ?

a. 100
b. 131
c, 222
d. 120

Pembahasan

Diketahui:

1. Untuk Pemilihan Ayam :

n = 5, menyatakan jumlah ayam yang tersedia

k = 2, menyatakan jumlah ayam yang akan dibeli

C(5,2)= 5!(5-2)!.2! = 5.4.3!3!.2! = 202 =10

2. Untuk Pemilihan Itik

n = 5, menyatakan jumlah itik yang tersedia

k = 2, menyatakan jumlah itik yang akan dibeli

C(5,2)= 5!(5-2)!.2! = 5.4.3!3!.2! = 202 =10

Jadi Bu Darni memiliki pilihan sebanyak = 10 x 10 = 100 cara

Jawaban : a