Contoh Soal Limit Fungsi Trigonometri Lengkap Dengan Pembahasannya

Sebelumnya kita telah membahas soal-soal yang berkaitan dengan "Limit Fungsi Aljabar" yang dilengkapi dengan pembahasannya secara detil. Maka dalam edisi kali ini, bahasan kita masih seputar limit, yaitu Limit Fungsi Trigonometri.

Sama halnya dengan limit fungsi aljabar, penyelesaian limit fungsi trigonometri paling umum dilakukan dengan substitusi terlebih dahulu. Jika seandainya hasil yang diperoleh adalah bentuk tidak tentu, baru dilanjutkan dengan mode penyelesaian lain seperti :

  • Dengan cara pemfaktoran
  • Dengan cara turunan

Sifat-Sifat Limit Fungsi Trigonometri

Dalam mencari nilai limit fungsi trigonometri, maka kita perlu memahami beberapa sifat limit fungsi trigonometri.

A. Sifat - Sifat Limit Fungsi Trigonometri Dasar

  • limx→0
     
    Sin xx
     = 1, begitu juga dengan 
    limx→0
     
    Sin axax
    = 1
  • limx→0
     
    xSin x
     = 1, begitu juga dengan 
    limx→0
     
    axSin ax
    = 1
  • limx→0
     
    tan xx
     = 1, begitu juga dengan 
    limx→0
     
    tan axax
    = 1
  • limx→0
     
    xtan x
     = 1, begitu juga dengan 
    limx→0
     
    axtan ax
    = 1

B. Sifat - Sifat Limit Fungsi Trigonometri lainnya

  • limx→0
     
    Sin axbx
     = 
    ab
        atau 
    limx→0
     
    axSin bx
     = 
    ab
  • limx→0
     
    tan axbx
     = 
    ab
        atau 
    limx→0
     
    axtan bx
     = 
    ab
  • limx→0
     
    sin axsin bx
     = 
    ab
        atau 
    limx→0
     
    tan axtan bx
     = 
    ab
  • limx→0
     
    sin axtan bx
     = 
    ab
        atau 
    limx→0
     
    tan axsin bx
     = 
    ab

Contoh Soal Limit Fungsi Trigonometri

Soal No.1


Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini :

limx→0
 
sin 3x2x

Pembahasan

limx→0
 
sin 3x2x
 = 
limx→0
 
sin 3x2x
 .
3x3x
⇔ 
limx→0
 
sin 3x3x
 .
3x2x
⇔1. 
32
 = 
32

Soal No.2


Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini :

limx→0
 
5x3 Sin 3x

Pembahasan

limx→0
 
5x3 Sin 3x
 = 
limx→0
 
5x3 Sin 3x
 .
3x3x
⇔ 
limx→0
 
3x3 Sin 3x
 .
5x3x
⇔ 
limx→0
 
13
 .
3xSin 3x
 .
5x3x
⇔ 
13
 .1.
53
 = 
59

Soal No.3


Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini berdasarkan sifat-sifat limit fungsi trigonometri (lihat rumus diatas):

a. 
limx→0
 
sin 4x3x
b. 
limx→0
 
sin 2xsin 3x
c. 
limx→0
 
sin 2xtan 7x

Pembahasan

a. 
limx→0
 
sin 4x3x
 = 
43
Limit tersebut menggunakan sifat : 
limx→0
 
Sin axbx
 = 
ab

b. 
limx→0
 
sin 2xsin 3x
 = 
23
Limit tersebut menggunakan sifat : 
limx→0
 
sin axsin bx
 = 
ab

c. 
limx→0
 
sin 2xtan 7x
 = 
27
Limit tersebut menggunakan sifat 
limx→0
 
sin axtan bx
 = 
ab

Soal No.4


Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini dengan cara turunan:

limx→0
 
3xsin 3x

Pembahasan

Kalau kita mengacu pada rumus diatas tentunya akan didapatkan 3/4, namun disini akan menggunakan cara turunan dalam mencari limit tersebut.
limx→0
 
3xsin 3x

⇔ 
limx→0
 
3xsin 3x
 = 
34 cos 4x
 = 
34 cos 0
 = 
34

Soal No.5


Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini :

limx1/2
 
sin (4x - 2)tan (2x - 1)

Pembahasan

Kita misalkan :
a = 2x -1
Jika x→1/2, maka a→0

Dengan demikian penyelesaian limit diatas adalah :
limx1/2
 
sin (4x - 2)tan (2x - 1)
⇔ 
limx1/2
 
sin 2(2x - 1)tan (2x - 1)
⇔ 
limx1/2
 
sin 2atan a
 = 2

Soal No.6


Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini :

limx→0
 
x2 + sin x tan x1- cos 2x

Pembahasan

limx→0
 
x2 + sin x tan x1- cos 2x
⇔ 
limx→0
 
x2 + sin x tan x1- (1- 2 Sin2x)
⇔ 
limx→0
 
x2 + sin x tan x2 Sin2x
⇔ 
limx→0
 
x22 Sin2x
 + 
Sin x tan x2 Sin2x
⇔ 
limx→0
 
12
 x 
xSin x
 x 
xSin x
 + 
12
 x 
Sin xSin x
 x 
tan xSin x
⇔ 
12
 x 1 x 1 + 
12
 x 1 x 1 = 1

Soal No.7


Hitunglah nilai limit fungsi trigonometri berikut ini :

limx→0
 
2 - 2 cos 2xx2

Pembahasan

limx→0
 
2 - 2 cos 2xx2
⇔ 
limx→0
 
2(1 - cos 2x)x2
⇔ 
limx→0
 
2{1 - (1 - 2 Sin2x)}x2
⇔ 
limx→0
 
2(1 - 1 + 2 Sin2x)x2
⇔ 
limx→0
 
2(2 Sin2x)x2
⇔ 
limx→0
 
4 Sin2xx2
⇔ 4. 
limx→0
Sin xx
)2 = 4.12 = 4

Next Post Previous Post