3 Metode Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Pada materi yang kali ini kita akan membahas tentang persamaan kuadrat. Jika pada artikel sebelumnya kita telah membahas tentang persamaan linear baik satu variabel maupun dua variabel, maka dalam materi ini kita lanjutkan dengan membahas persamaan kuadrat.

Apa Itu Persamaan Kuadrat?

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah:

ax² + bx + c = 0
dimana :a ≠ 0 
        a, b dan c adalah bilangan real

Pada 1637, René Descartes yang berkebangsaan perancis menerbitkan La Géometrie yang berisi rumus penyelesaian persamaan kuadrat seperti yang kita gunakan sekarang ini setelah menyempurnakan dari penemu sebelumnya. Jadi bisa dikatakan René Descartes yang menemukan persamaan kuadrat pada tahun 1637 seperti yang kita gunakan sekarang ini.

Tiga Metode Penyelesaian Persamaan Kuadrat

Untuk mencari akar-akar dari suatu persamaan kuadrat, kita dapat menyelesaikannya dengan tiga cara, yaitu :

  • Memfaktorkan
  • Melengkapkan bentuk kuadrat
  • Rumus ABC

1. Penyelesaian Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan

Persamaan Kuadarat :ax² + bx + c = 0, dapat difaktorkan menjadi :
                    a (x – x1) (x – x2) = 0.

Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) 
persamaan kuadrat.

Contoh.1

Carilah akar-akar dari persamaan kuadarat : x2 + 12x + 32 = 0

Jawab :

x2 + 12x + 32  = 0

(x + 4) (x + 8) = 0

x + 4 = 0 atau x + 8 =0

x = -4 atau x = -8

Jadi akar-akarnya adalah {-4,-8}

Contoh.2

Carilah akar-akar dari persamaan kuadarat x2 – 4 x + 3 = 0

Jawab:

x2 – 4 x + 3 = 0

(x – 3) (x – 1) = 0

x – 3 = 0 atau x – 1 = 0

x = 3 atau x = 1

Jadi akar-akar dari x2– 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.

Contoh.3

Carilah akar-akar dari persamaan kuadarat 2x2 - 5 x - 3 = 0

Jawab:

2x2- 5x - 3 = 0 

(2x – 1) (x + 3) =0

(2x-1)=0  atau (x-3)=0

Jadi akar-akar dari 2x2 - 5 x - 3 = 0 adalah 1/2 dan -3.

2. Penyelesaian Persamaan Kuadrat dengan Melengkapi Kuadrat

Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)2 = q.

Langkah-langkah untuk mencari akar persamaan kuadrat dalam bentuk umum dengan cara melengkapkan bentuk kuadrat.

Persamaan asli (dalam bentuk umum)ax² + bx + c = 0
Langkah ke-1. Bagi persamaan dengan a agar koefisien dari x² menjadi 1x² + bx/a + c/a = 0
Langkah ke-2. Pindahkan konstanta-konstanta ke sebelah kanan persamaanx² + bx/a = −c/a
Langkah ke-3. Tambahkan (b/2a ke kedua sisi dari persamaanx² + bx/a + (b/2a)² = −c/a + (b/2a
Langkah ke-4. Sekarang kita bisa menulis sisi sebelah kiri dari persamaan sebagai bentuk kuadrat sempurna.(x + b/2a)² = −c/a + (b/2a
Langkah ke-5. Ambil akar kuadrat dari kedua sisi persamaan√(x + b/2a)² = ± √(c/a + (b/2a)²)
x + b/2a = ± √(c/a + (b/2a)²)
Langkah ke-6. Pindahkan konstanta yang di sebelah kiri ke sebelah kanan persamaan, lalu hitung nilai xx = −b/2a ± √(c/a + (b/2a)²)

Contoh.1
Carilah akar-akar dari persamaan : x2 – 6 x + 5 = 0.

Jawab:

Langkah.1. 
Karena persamaaan x2 – 6 x + 5 = 0 memiliki a =1, maka langkah 1 dapat kita lewati

Langkah ke-2. Pindahkan konstanta ke sebelah kanan
x2 – 6 x = -5

Langkah ke.3. Tambahkan (b/2a ke kedua sisi dari persamaan
x2 – 6 x + (-6/2)² = -5 + (-6/2
x2 – 6 x + 9 = -5 +9
x2 – 6 x + 9 = 4

Langkah ke-4. Ubah bentuk sebelah kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna
x2 – 6 x + 9 = 4
(x – 3)2 = 4

Langkah ke-5. Cari akar kuadratnya
(x-3) = 4
(x-3) = ±2
x – 3 = 2  atau x – 3 = –2
x = 5    atau     x = 1
Jadi akar-akar dari x2 – 6 x + 5 = 0 adalah 1 dan 5

Contoh.2
Carilah akar-akar dari persamaan : 4x2 – 8 x - 5 = 0.

Jawab:

Langkah.1. Jadikan persamaan  koefisien dari x² menjadi 1

Persamaanya menjadi :x2 – 2 x - 5/4 = 0

Langkah ke-2. Pindahkan konstanta ke sebelah kanan

x2 – 2 x = 5/4

Langkah ke.3. Tambahkan (b/2a ke kedua sisi dari persamaan

x2 – 2 x + (-2/2)² = 5/4 + (-2/2
x2 – 2 x + 1 = 5/4 + 1
x2 – 2 x + 1= 9/4

Langkah ke-4. Ubah bentuk sebelah kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna

x2 – 2 x + 1 = 9/4
(x – 1)2 = 9/4

Langkah ke-5. Cari akar kuadratnya

(x-1) = 9/4
(x-1) = ±3/2
x – 1 = 3/2  atau x – 1 = -3/2
x = 5/2    atau     x = -1/2
Jadi akar-akar dari 4x2 – 8 x - 5 = 0 adalah 5/2 dan -1/2.

Next Post Previous Post